Question

6．设z为复数，若$\frac{（i-1）z}{i（z-2）}$∈R，求z所对应的点的轨迹．

Answer 1

分析 首先设出复数z=a+bi（a，b∈R），再由复数代数形式的乘除运算化简$\frac{（i-1）z}{i（z-2）}$，再由题意得到虚部为0，求解即可得到z所对应的点的轨迹．

解答 解：设z=a+bi（a，b∈R），
则$\frac{（i-1）z}{i（z-2）}=\frac{（a+bi）（i-1）}{i（a+bi-2）}$=$\frac{（-a-b）+（a-b）i}{-b+（a-2）i}$=$\frac{[（-a-b）+（a-b）i]•[-b-（a-2）i]}{[-b+（a-2）i]•[-b-（a-2）i]}$=$\frac{[（-a-b）+（a-b）i]•\{-b-（a-2）i]}{{b}^{2}+（a-2）^{2}}$，
∵$\frac{（i-1）z}{i（z-2）}$∈R，
∴虚部为0．
∴（-a-b）（2-a）+（-b）（a-b）=0．
即（a-1）²+（b-1）²=2．
∴z所对应的点的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为$\sqrt{2}$的圆．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．