Question

16．函数y=ax-1+$\frac{2a-1}{x}$在[1，2]上是增函数，求a的范围（运用导数，单调性的定义两种方法）

Answer 1

分析 方法1：求函数的导数，利用导数f′（x）≥0恒成立，利用参数分类法进行求解即可．
方法2：利用函数单调性的定义，利用定义法进行求解即可．

解答 解：函数的导数y′=a-$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$，
若函数y=ax-1+$\frac{2a-1}{x}$在[1，2]上是增函数，
则y′≥0恒成立，即a-$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$≥0，
即ax²-（2a-1）≥0，
即a（x²-2）+1≥0，
若x=$\sqrt{2}$，则不等式等价为1≥0，不等式成立，
若$\sqrt{2}$＜x≤2，则0＜x²-2≤2，
则不等式等价为a≥$\frac{-1}{{x}^{2}-2}$，此时，
∵$\frac{-1}{{x}^{2}-2}$≤$\frac{-1}{4-2}=-\frac{1}{2}$，即a$≥-\frac{1}{2}$，
若1≤x＜$\sqrt{2}$，则x²-2＜0，
则不等式等价为a≤$\frac{-1}{{x}^{2}-2}$，此时$\frac{-1}{1-2}$≤$\frac{-1}{{x}^{2}-2}$，即$\frac{-1}{{x}^{2}-2}$≥1，
则a≤1，
综上$-\frac{1}{2}$≤a≤1．
定义法：
设1≤x₁＜x₂≤2，
则f（x₁）-f（x₂）=ax₁+1+$\frac{2a-1}{{x}_{1}}$-ax₂-1-$\frac{2a-1}{{x}_{2}}$=a（x₁-x₂）+（2a-1）•$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（a-$\frac{2a-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵1≤x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，
若函数y=ax-1+$\frac{2a-1}{x}$在[1，2]上是增函数，
则f（x₁）＜f（x₂），即f（x₁）-f（x₂）＜0，
即（x₁-x₂）（a-$\frac{2a-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＜0，
即a-$\frac{2a-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0恒成立，
解ax₁x₂-2a+1＞0，
即a（x₁x₂-2）＞-1，
∵1≤x₁＜x₂≤2，
∴1＜x₁x₂＜4，
则-1＜x₁x₂-2＜2，
若-1＜x₁x₂-2＜0，得a＜$\frac{-1}{{x}_{1}{x}_{2}-2}$，此时$\frac{-1}{{x}_{1}{x}_{2}-2}$＞1，此时a≤1，
若x₁x₂-2=0，得0＞-1成立，
若0＜x₁x₂-2＜2，得a＞$\frac{-1}{{x}_{1}{x}_{2}-2}$，此时$\frac{-1}{{x}_{1}{x}_{2}-2}$$＜-\frac{1}{2}$，此时a≥$-\frac{1}{2}$，
综上$-\frac{1}{2}$≤a≤1．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用导数法和函数单调性的定义法是解决本题的关键．