Question

1．已知一个高为3且其底面是有一个内角为60°的菱形的直四棱柱直立在水平桌面上，若该直四棱柱的正视图的最小面积为$\frac{9}{4}$，则直四棱柱的体积为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{8}$
• B． $\frac{9\sqrt{3}}{16}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{8}$
• D． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 确定有一个内角为60°的菱形的高为$\frac{3}{4}$，可得菱形的一条边长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求出直四棱柱的体积．

解答 解：由直四棱柱的正视图的最小面积为$\frac{9}{4}$，可得有一个内角为60°的菱形的高为$\frac{3}{4}$，
则菱形的一条边长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴底面的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×sin60°$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴直四棱柱的体积为$\frac{3\sqrt{3}}{8}×3$=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
故选：C．

点评 本题考查直四棱柱的体积，考查学生的计算能力，确定菱形的一条边长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$是关键．