Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c，且f（0）=-3，f（1）=-4
（1）求f（x）的解析式；
（2）当a＜1且f（x）在区间[2a，a+1]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在g（x）=2x+2m+1的图象下方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=-3可得c，由f（1）=-4可得b，从而可得f（x）；
（2）由题意可知，[2a，a+1]为f（x）单调区间的子集，可得不等式，解出即可；
（3）问题等价于f（x）＜g（x）在[-1，1]上恒成立，分离出参数m后转化为求函数最值即可；

解答：解：（1）由已知f（0）=-3，可得c=-3，由f（1）=-4可得1+b-3=-4，可得b=-2，
∴f（x）=x²-2x-3；
（2）∵a＜1，∴a+1＞2a，所以区间[2a，a+1]有意义，
∵f（x）的对称轴x=1，要使函数是单调函数，则2a≥1或a+1≤1，∴a≥

1

2

或a≤0．
又∵a＜1，
∴a的取值范围是：

1

2

≤a＜1或a≤0；
（3）由已知，即f（x）＜g（x），x∈[-1，1]时恒成立，
化简得

1

2

x2-2x-2＜m，
设h(x)=

1

2

x2-2x-2，则只要h（x）_max＜m，
∵h（x）的对称轴x=2，
∴h(x)max=h(-1)=

1

2

，得m＞

1

2

．

点评：本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．