Question

在△ABC中，B（-2，0），C（2，0），A（x，y），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 ①△ABC周长为10 C1：y2=25 ②△ABC面积为10 C2：x2+y2=4(y≠0) ③△ABC中，∠A=90° C3： x2 9 + y2 5 =1(y≠0) 则满足条件①、②、③的点A轨迹方程按顺序分别是（　　）

• A、C₃、C₁、C₂
• B、C₂、C₁、C₃
• C、C₁、C₃、C₂
• D、C₃、C₂、C₁

Answer 1

分析：题目中给出了△ABC的两个顶点B、C的坐标，当给出周长时，可得到A到B、C两点的距离和为定值，且定值大于BC的距离，可知A的轨迹为椭圆除去x轴上的两点；当△ABC的面积为定值10时，可得A到x轴的距离为定值5，从而可得A的轨迹是两条直线；当△ABC中，∠A=90°时，可知A到原点的距离为定值2，从而得到A的轨迹是圆除去与x轴的两个交点．

解答：解：如图，在平面直角坐标系中

∵B（-2，0），C（2，0）．
若①△ABC周长为10，则|AB|+|AC|=6＞4=|BC|，
∴A的轨迹为以B、C为焦点，长轴长为6的椭圆，方程为：

x2

9

+

y2

5

=1(y≠0)；
若②△ABC面积为10，设A到BC所在直线距离为d，则

1

2

×|BC|×d=10，即

1

2

×4d=10，d=5．
∴|y|=5，y²=25．∴A的轨迹方程为：y²=25；
若③△ABC中，∠A=90°，则|OA|=2，即

x2+y2

=2，x²+y²=4（y≠0）．
∴满足条件①、②、③的点A轨迹方程按顺序分别是C₃、C₁、C₂．
故选：A．

点评：本题考查了圆锥曲线的共同特征，考查了椭圆、圆的定义，解答的关键是对圆锥曲线定义的理解，属中档题．