Question

有下列五个命题：
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题．
②在平面内，F₁、F₂是定点，丨F₁F₂丨=6，动点M满足丨MF₁丨-丨MF₂丨=4，则点M的轨迹是双曲线．
③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．
④“若-3＜m＜5，则方程

x2

5-m

+

y2

m+3

=1是椭圆”．
⑤已知向量

a

，

b

，

c

是空间的一个基底，则向量

a

+

b

，

a

-

b

，

c

也是空间的一个基底．
⑥椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为5．
其中真命题的序号是

①③⑤⑥

．

Answer 1

分析：①根据四种命题之间的关系进行判断．②根据双曲线的定义进行判断．③根据等差数列的定义进行判断．④根据椭圆的定义和方程进行判断．⑤根据空间向量进行判断．⑥根据椭圆的定义进行判断．

解答：解：①若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为：若x，y互为相反数，则x+y=0”正确．
②根据双曲线的定义可知满足丨MF₁丨-丨MF₂丨=4的点M的轨迹是双曲线的一支，∴②错误．
③若“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，∴③正确．
④当m=1时，方程为

x2

4

+

y2

4

=1，表示圆，∴④错误．
⑤设x（

a

+

b

）+y（

a

-

b

）+z

c

=0，则（x+y）

a

+（x-y）

b

+z

c

=0，∵向量

a

，

b

，

c

是空间的一个基底，∴

x+y=0 x-y=0 z=0

，解得x=y=z=0，
∴向量

a

+

b

，

a

-

b

，

c

也是空间的一个基底，正确．
⑥根据椭圆的定义可知，P到两个焦点的距离之和为2a=10，∴P到另一个焦点的距离为10-5=5．正确．
故答案为：①③⑤⑥．

点评：本题主要考查与圆锥曲线有关的命题的真假，要求熟练掌握椭圆，双曲线的定义和性质．