Question

对于函数y=f（x），有下列五个命题：
①若y=f（x）存在反函数，且与反函数图象有公共点，则公共点一定在直线y=x上；
②若y=f（x）在R上有定义，则y=f（|x|）一定是偶函数；
③若y=f（x）是偶函数，且f（x）=0有解，则解的个数一定是偶数；
④若T（T≠0）是函数y=f（x）的周期，则nT（n∈N），也是函数y=f（x）的周期；
⑤f（0）=0是函数y=f（x）为奇函数的充分也不必要条件．
从中任意抽取一个，恰好是真命题的概率为（　　）

• A．

  1

  5

• B．

  2

  5

• C．

  3

  5

• D．

  4

  5

Answer 1

分析：对于①可举反例f（x）=

1

x

进行判定，对于②可根据偶函数的定义进行判定，对于③可举反例y=x²进行判定，对于④可根据周期性的定义进行判定，对于⑤可举反例f（x）=x²进行判定，从而可求出真命题的个数，即可求出所求．

解答：解：①若y=f（x）存在反函数，且与反函数图象有公共点，则公共点不一定在直线y=x上，如函数f（x）=

1

x

，反函数是其本身，公共点是整个函数图象；
②若y=f（x）在R上有定义，则y=f（|x|）一定是偶函数，因f（|-x|）=f（|x|）对于任意x恒成立，故正确；
③若y=f（x）是偶函数，且f（x）=0有解，则解的个数一定是偶数不正确，如y=x²，是偶函数，x²=0的解只有一个，不是偶数个；
④若T（T≠0）是函数y=f（x）的周期，则f（x+T）=f（x），从而f（x+nT）=f（x），则nT（n∈N），也是函数y=f（x）的周期；
⑤f（0）=0是函数y=f（x）为奇函数的充分也不必要条件，不正确，f（x）=x²时，f（0）=0，而f（x）=x²是偶函数．
故正确的命题有2个，
则从中任意抽取一个，恰好是真命题的概率为

2

5

故选B．

点评：本题主要考查了命题的真假的判定，以及古典概型的简单应用，同时考查了反函数、奇偶性、周期性等知识，属于基础题．