Question

已知动点P与平面上两定点A(-

2

，0)，B(

2

，0)连线的斜率的积为定值-

1

2

．
（1）试求动点P的轨迹方程C；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=

4 2

3

时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出P的坐标，利用动点P与平面上两定点A(-

2

，0)，B(

2

，0)连线的斜率的积为定值-

1

2

，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C．
（Ⅱ）直线l：y=kx+1与曲线C方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：k_PAk_PB=-

1

2

∴

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，化简，整理得

x2

2

+y2=1
故P点的轨迹方程是

x2

2

+y2=1，（x≠±

2

）
（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2+2y2=2

得，（1+2k²）x²+4kx=0
∴x₁+x₂=-

4k

1+2k2

，x₁ x₂=0，
|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2

3

，
整理得，k⁴+k²-2=0，解得k²=1，或k²=-2（舍）
∴k=±1，经检验符合题意．
∴直线l的方程是y=±x+1，即：x-y+1=0或x+y-1=0

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．