Question

已知动点P与平面上两定点A(-

2

，0)，B(

2

，0)连线的斜率的积为定值-

1

2

．
（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，
①当|MN|=

4 2

3

时，求直线l的方程．
②线段MN上有一点Q，满足

MQ

=

1

2

MN

，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）根据经过两点的直线的斜率公式，结合题意建立关于点P（x，y）坐标的关系式，化简整理即可得到所求动点P的轨迹方程C；
（II）由（I）求出的轨迹方程与直线y=kx+1消去y，得到关于x的一元二次方程．
①解所得的一元二次方程，得到x₁、x₂关于k的式子，根据弦长公式列方程解出k=±1，从而得到直线l的方程；
②由线段的中点坐标公式，算出Q坐标关于x₁、x₂和y₁、y₂的形式，代入直线方程并结合

MQ

=

1

2

MN

进行化简整理，可得x²+2y²-2y=0．再由直线l与曲线C交于M、N两点，可得△＞0，得k≠0从而得到x的取值范围，即可给出点Q的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y），则根据题意，有

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，整理得

x2

2

+y2=1．由于x≠±

2

，
所以求得的曲线C的方程为

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)．
（Ⅱ）设点M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+1.

消去y得：(1+2k2)x2+4kx=0．
①解得x₁=0，x₂=

-4k

1+2k2

．
由|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

|

4k

1+2k2

|=

4

3

2

，解得：k=±1．
∴直线l的方程x-y+1=0或x+y-1=0；
②设点Q的坐标为（x，y），
∵

MQ

=

1

2

MN

，
∴点Q为线段MN的中点，可得x=

x1+x2

2

=

-2k

1+2k2

，
∴y=kx+1=k•

-2k

1+2k2

+1=

1

1+2k2

，
消去k，得方程：x²+2y²-2y=0．
因曲线C的方程为

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)，故直线不过点(±

2

，0)，即k≠±

2

2

又∵直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，
∴△=（-4k）²＞0，即k≠0，
因此，x≠0，且x≠±

2

2

，
综上，所求点Q的轨迹方程为x2+2y2-2y=0(x≠0，且x≠±

2

2

)．

点评：本题通过求动点的轨迹方程，考查了向量的坐标运算、直线的斜率公式、直线与圆锥曲线的关系和一元二次方程根的判别式等知识，属于中档题．