Question

（2013•嘉定区二模）如图，已知点F（0，1），直线m：y=-1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）（理）过轨迹C的准线与y轴的交点M作直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，且线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y₀），求y₀的取值范围；
（3）（理）对于（2）中的点A、B，在y轴上是否存在一点D，使得△ABD为等边三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由题意得Q（x，-1），即可得到

QP

，

QF

，

FP

，

FQ

，利用向量的数量积运算即可得出动点P的轨迹C的方程；
（2）利用（1）的轨迹方程即可得到准线方程及点M的坐标，设直线m'的方程为y=kx-1（k≠0），与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标和垂直平分线的性质即可得到线段AB的垂直平分线的方程即可；
（3）利用（2）的结论，点到直线的距离公式及等边三角形的判定即可得出．

解答：解：（1）设P（x，y），由题意，Q（x，-1），

QP

=(0 ， y+1)，

QF

=(-x ， 2)，

FP

=(x ， y-1)，

FQ

=(x ， -2)，
由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，得2（y+1）=x²-2（y-1），
化简得x²=4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x²=4y．
（2）轨迹C为抛物线，准线方程为y=-1，
即直线m，∴M（0，-1），
设直线m'的方程为y=kx-1（k≠0），由

y=kx-1 x2=4y

 得x²-4kx+4=0，
由△=16k²-16＞0，得k²＞1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，
所以线段AB的中点为（2k，2k²-1），
所以线段AB垂直平分线的方程为（x-2k）+k[y-（2k²-1）]=0，
令x=0，得y0=2k2+1．
因为k²＞1，所以y₀∈（3，+∞）．
（3）由（2），x₁+x₂=4k，x₁x₂=4，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)(16k2-16)

=4

(k2+1)(k2-1)

．
假设存在点D（0，y₀），使得△ABD为等边三角形，
则D到直线AB的距离d=

3

2

|AB|．
因为D（0，2k²+1），所以d=

|y0+1|

1+k2

=

2(k2+1)

k2+1

=2

k2+1

，
所以2

k2+1

=2

3

k2+1

•

k2-1

，解得k2=

4

3

．
所以，存在点D(0 ， 

11

3

)，使得△ABD为等边三角形．

点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、向量的数量积、准线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、等边三角形的定义、点到直线的距离公式、线段的垂直平分线及对称等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．