Question

15．已知x，y∈（0，+∞）满足$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=1，求x+2y的最小值，解法如下：x+2y=（$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$）（x+2y）=2+$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$+2≥4+2$\sqrt{4}$=8，当且仅当$\frac{x}{y}=\frac{4y}{x}$，即x=4，y=2时取到等号，则x+2y的最小值为8，应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知x，y，z为正实数，且$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=1，求w=x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．
（2）已知x∈（0，$\frac{1}{2}$），求函数y=$\frac{1}{x}+\frac{8}{1-2x}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得w=x+4y+9z=（x+4y+9z）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$）=14+$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{z}$+$\frac{9z}{x}$+$\frac{4y}{z}$+$\frac{9z}{y}$，由基本不等式可得；
（2）由题意可得1-2x＞0且2x+1-2x=1，可得y=（$\frac{1}{x}+\frac{8}{1-2x}$）（2x+1-2x）=10+$\frac{1-2x}{x}$+$\frac{16x}{1-2x}$，由基本不等式可得．

解答 解：（1）由题意可得w=x+4y+9z=（x+4y+9z）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$）
=14+$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{z}$+$\frac{9z}{x}$+$\frac{4y}{z}$+$\frac{9z}{y}$≥14+4+6+12=36
当且仅当$\frac{x}{y}$=$\frac{4y}{x}$且$\frac{x}{z}$=$\frac{9z}{x}$且$\frac{4y}{z}$=$\frac{9z}{y}$即x=6且y=3且z=2时取等号，
∴求w=x+4y+9z的最小值为36；
（2）∵x∈（0，$\frac{1}{2}$），∴1-2x＞0，
又2x+1-2x=1，
∴y=（$\frac{1}{x}+\frac{8}{1-2x}$）（2x+1-2x）=10+$\frac{1-2x}{x}$+$\frac{16x}{1-2x}$
≥10+2$\sqrt{\frac{1-2x}{x}•\frac{16x}{1-2x}}$=18
当且仅当$\frac{1-2x}{x}$=$\frac{16x}{1-2x}$即x=$\frac{1}{6}$时取等号
∴y=$\frac{1}{x}+\frac{8}{1-2x}$的最小值为18

点评 本题考查基本不等式求最值，读懂题目给的解决问题的方法并应用到具体题目中是解决问题的关键，属中档题．