Question

4．已知函数f（x）=x²+2ax+b，x∈[-1，1]的最大为M
（I）用a，b表示M：；
（2）若b=a²，且对任意x∈[0，2π]，sin2x-2x+4≤M，求实数a取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=x²+2ax+b的图象是开口朝上，且以直线x=-a为对称轴的抛物线，结合二次函数的性质，分-a≤0和-a＞0两种情况讨论，可得M的表达式；
（2）若对任意x∈[0，2π]，sin2x-2x+4≤M，则M≥4，分-a≤0和-a＞0两种情况讨论，可得实数a取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+2ax+b的图象是开口朝上，且以直线x=-a为对称轴的抛物线，
若-a≤0，即a≥0，则在区间[-1，1]上，当x=1时，函数取最大值M=2a+b+1，
若-a＞0，即a＜0，则在区间[-1，1]上，当x=-1时，函数取最大值M=-2a+b+1，
综上：M=$\left\{\begin{array}{l}-2a+b+1，a＜0\\ 2a+b+1，a≥0\end{array}\right.$，
（2）令h（x）=sin2x-2x，x∈[0，2π]，
则h′（x）=2cos2x-2，x∈[0，2π]，
当x∈[0，2π]时，h′（x）≤0恒成立，
故h（x）在区间[0，2π]上为减函数，
当x=0时，函数取最大值0，
则sin2x-2x+4≥4，
若对任意x∈[0，2π]，sin2x-2x+4≤M，则M≥4，
又由b=a²，
若-a≤0，即a≥0，则-2a+a²+1≥4，解得：a∈[3，+∞），
若-a＞0，即a＜0，则2a+a²+1≥4，解得：a∈（-∞，-3]．
综上所述，a∈（-∞，-3]∪[3，+∞）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．