Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0且（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$）=0，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|=1，则|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$|的最大值为3，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，建立直角坐标系．可设$\overrightarrow{a}$=（m，0），$\overrightarrow{b}$=（0，n），$\overrightarrow{c}$=（x，y），由（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$）=0，可得点C满足$（x-\frac{m}{2}）^{2}+（y-\frac{n}{2}）^{2}=\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4}$．画出图形，设∠CBD=θ，把$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{c}$的坐标用含有θ的代数式表示，然后结合三角函数求最值得答案．

解答 解：由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，建立如图所示的直角坐标系．
可设$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$=（m，0），$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$=（0，n），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$=（x，y），
由（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$）=0，得（m-x，-y）•（-x，n-y）=0
即x²-mx+y²-ny=0，化为$（x-\frac{m}{2}）^{2}+（y-\frac{n}{2}）^{2}=\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4}$．
∵|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|=1，
∴|AC|=$\sqrt{3}$，|BC|=1，
设∠CBD=θ，则∠OAC=θ．
则x=sinθ=m-$\sqrt{3}$cosθ，
∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$|=|（2sinθ+$\sqrt{3}cosθ$，$\sqrt{3}sinθ$）|=$\sqrt{4sin（2θ-\frac{π}{6}）+5}$．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$|的最大值为3；
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=mx=sinθ（sinθ+$\sqrt{3}$cosθ）
=sin²θ+$\sqrt{3}$sinθcosθ
=$\frac{1}{2}$（1-cos2θ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2θ
=sin（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$的最大值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：3；$\frac{3}{2}$．

点评 本题综合考查了向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系、数量积的性质、三角函数代换等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．