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已知f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t)).
(Ⅰ)若a=b=1,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的导函数f'(x)满足:当|x|≤1时,有|f'(x)|≤
3
2
恒成立,求函数f(x)的解析表达式;
(Ⅲ)若0<a<b,函数f(x)在x=s和x=t处取得极值,且a+b=2
3
,证明:
OA
OB
不可能垂直.
分析:(Ⅰ)由题意可得:f'(x)=3x2-4x+1,令f'(x)≥0即可得到函数的单调递增区间.
(Ⅱ)由题可得:故有-
3
2
≤f'(1)≤
3
2
-
3
2
≤f'(-1)≤
3
2
,及-
3
2
≤f'(0)≤
3
2
,结合不等式的有关性质可得:ab=-
3
2
,进而得到a+b=0,即可得到函数的解析式.
(Ⅲ)假设
OA
OB
,即
OA
OB
=st+f(s)f(t)=0,即有-1[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1,结合题中条件s+t=
2
3
(a+b),st=
1
3
,可得ab(a-b)2=9,再利用基本不等式推出矛盾,进而得到答案.
解答:解:(Ⅰ)由题意可得:f(x)=x3-2x2+x,、
所以f'(x)=3x2-4x+1,
令f'(x)≥0得3x2-4x+1≥0,解得x≤
1
3
或x≥1

故f(x)的增区间(-∞,
1
3
]
和[1,+∞)(4分)
(Ⅱ)由题意可得:f'(x)=3x2-2(a+b)x+ab,
并且当x∈[-1,1]时,恒有|f'(x)|≤
3
2
.(5分)
故有-
3
2
≤f'(1)≤
3
2
-
3
2
≤f'(-1)≤
3
2
,及-
3
2
≤f'(0)≤
3
2
,(6分)
-
3
2
≤3-2(a+b)+ab≤
3
2
…①
-
3
2
≤3+2(a+b)+ab≤
3
2
…②
-
3
2
≤ab≤
3
2
…③
…(8分)
①+②,得-
9
2
≤ab≤-
3
2
,…(8分)   
又由③,得ab=-
3
2
,将上式代回①和②,得a+b=0,
f(x)=x3-
3
2
x
.(10分)
(Ⅲ)假设
OA
OB
,即
OA
OB
=(s,f(s))•(t,f(t))=st+f(s)f(t)=0(11分)
所以有:(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1,…(11分)
由s,t为f'(x)=0的两根可得,s+t=
2
3
(a+b),st=
1
3
,(0<a<b)
从而有ab(a-b)2=9.…(12分)
这样(a+b)2=(a-b)2+4ab=
9
ab
+4ab≥2
36
=12

即 a+b≥2
3
,这与a+b<2
3
矛盾.…(14分)
OA
OB
不可能垂直.…(16分)
点评:本题考查导数的应用,以及不等式的有关解法与性质,并且此题也考查了向量的数量积与根与系数的关系、基本不等式等知识点,是一道综合性较强的题型,属于难题.对学生分析问题,解决问题的能力要求较高.
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(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)讨论函数f(x)在区间(-∞,0)上的单调性;
(Ⅲ)若k=
1
3
,设g(x)是函数f(x)在区间[0,+∞)上的导函数,问是否存在实数a,满足a>1并且使g(x)在区间[
1
2
,a]
上的值域为[
1
a
,1]
,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

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(Ⅲ)若,设g(x)是函数f(x)在区间[0,+∞)上的导函数,问是否存在实数a,满足a>1并且使g(x)在区间上的值域为,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

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