Question

求下列函数的解析式．
（1）已知f（x）=x²+2x，求f（2x+1）
（2）已知f（x）为二次函数，且满足f （0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，求f（x）
（3）已知2f（

1

x

）+f（x）=x（x≠0），求f（x）
（4）若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（2-x），求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）用2x+1整体替换式中的x，化简可得f（2x+1）；（2）待定系数法：设f（x）=ax²+bx+c，a≠0，由f（0）=1可得c=1，化简f（x+1）-f（x），比较系数可得a，b的方程组，解方程组可得a，b，进而可得函数解析式；（3）由2f（

1

x

）+f（x）=x，可得2f（x）+f（

1

x

）=

1

x

，两式联立消去f（

1

x

）可得f（x）；（4）由奇函数的性质可得f（0）=0，当x＞0时，-x＜0，代入已知结合函数奇偶性可得此时的解析式，综合可得．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+2x，
∴f（2x+1）=（2x+1）²+2（2x+1）
=（2x+1）（2x+1+2）=（2x+1）（2x+3）
=4x²+8x+3
（2）由题意设f（x）=ax²+bx+c，a≠0，
由f（0）=1可得c=1，
∴f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+1-ax²-bx-1=2ax+a+b=2x，
比较系数可得

2a=2 a+b=0

，解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1
（3）∵2f（

1

x

）+f（x）=x，
∴2f（x）+f（

1

x

）=

1

x

，
两式联立消去f（

1

x

）可得f（x）=

2

3x

-

x

3

（4）由奇函数的性质可得f（0）=0，
当x＞0时，-x＜0，∴f（-x）=-x（2+x），
∴-f（x）=f（-x）=-x（2+x），
解得f（x）=x（2+x）
综上可得f（x）=

x(2-x)   x＜0 0                    x=0 x(2+x)     x＞0

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及待定系数法和函数的奇偶性和奇函数的性质，属中档题．