Question

如图正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）．
（1）求MN的长；
（2）当a为何值时，MN的长最小．

Answer 1

分析：（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，易证MNQP是平行四边形，根据MN=PQ，即可求出MN的长；
（2）根据（1）将MN 关于a的函数进行配方即可求出MN的最小值，注意取最小值时a的取值即可得到结论．

解答：解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，

依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，∴MN=PQ
由已知CM=BN=a，CB=AB=BE=1
∴AC=BF=

2

，CP=BQ=

a

2

∴MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

（0＜a＜

2

）；
（2）由（1）MN=

(a- 2 2 )2+ 1 2

（0＜a＜

2

）
∴当a=

2

2

时，MN的长最小为

2

2

即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为

2

2

．

点评：本题考查空间距离的计算，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．