Question

【题目】在底面是边长为6的正方形的四棱锥P--ABCD中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为，则四棱锥P--ABCD的内切球与外接球的半径之比为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

确定异面直线PB与AD所成角为∠PBC，取BC中点E，则tan∠PBC，求出PE＝5，HP＝4，可得四棱锥P﹣ABCD的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比．

由题意，四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，PA＝PB＝PC＝PD，

∵AD∥BC，

∴异面直线PB与AD所成角为∠PBC，

取BC中点E，则tan∠PBC，

∴PE＝5，HP＝4，

从而四棱锥P﹣ABCD的表面积为S96，V48，

∴内切球的半径为r．

设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，外接球的半径为R，则OP＝OA，

∴（4﹣R）2+（3）2＝R2，

∴R，

∴．

故选D．