Question

【题目】如图，四面体ABCD中，O是BD中点，AB=AD=2，.

（1）求证：AO⊥平面BCD；

（2）求点D到平面ABC的距离。

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）利用等腰三角形和勾股定理得到AO与BD，OC垂直，即可得证；

（2）利用第一步得到的三线垂直，建立空间坐标系，容易找到各点坐标，从而得到所需向量和法向量，代入公式即可得解．

（1）连接OC，

∵BO＝DO，AB＝AD，

∴AO⊥BD，

∵BO＝DO，BC＝CD，

∴CO⊥BD，

在△AOC中，由题设知

AO，，AC，

∴AO2+CO2＝AC2，

∴∠AOC＝90°，

即AO⊥OC，

∵BD∩OC＝O，

∴AO⊥平面BCD；

（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则A（0，0，），B（，0，0），

C（0，，0），D（，0，0），

，．

设平面ABC的一个法向量为（x，y，z），

则

令y＝1，得（，1，）

又，

∴点D到平面ABC的距离

，

即点D到平面ABC的距离为．