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    【题目】如图，在三棱柱中，侧棱底面,且, 是棱的中点，点在侧棱上运动.

    (1)当是棱的中点时，求证： 平面；

    (2)当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.

    【答案】(1)证明见解析；(2) .

    【解析】试题分析：（1）取线段的中点，连结．可得四边形是平行四边形， ，即可证明平面；（2）以为原点， ， ， 所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法二面角的余弦值.

    试题解析：(1)取线段的中点，连结.

    ∵,∴，且.

    又为的中点，∴,且.

    ∴,且.∴四边形是平行四边形.

    ∴.

    又平面平面,∴平面.

    (2)∵两两垂直，∴以为原点， 所在直线分别为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图,

    ∵三棱柱中， 平面，

    ∴即为直线与平面所成的角.

    设，则由，得.

    ∴.

    ∴,

    设平面的一个法向量为，

    则

    令，得，即.

    又平面的一个法向量为,∴,

    又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.

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