Question

【题目】如图，已知椭圆： ， 其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为， 的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、、构成等差数列.

（1）求椭圆的方程；

（2）记的面积为， （为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：

（1）由题意得，又，所以，于是可得椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件．将转化为，可根据题意设出直线的方程，将直线方程代入椭圆方程消元后可得二次方程，结合根与系数的关系和两点间的距离可得关于（直线斜率）的方程，解方程可得的值，由此判断结论是否成立即可．

试题解析：

（1）因为、、构成等差数列，

所以，所以，

又因为，

所以，

所以椭圆的方程为．

（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与, 轴垂直．

设方程为 ，

由消去y整理得，

显然．

设， ，则，

故点的横坐标为，

所以．

设,因为，所以，

解得，即．

∵和相似，且，

则，

∴，

整理得，

解得，所以，

所以存在直线满足条件，且直线的方程为.