【题目】已知函数
，其中
为常数．
（Ⅰ）若
的图像在
处的切线经过点（3,4），求
的值；
（Ⅱ）若
，求证： 
；
（Ⅲ）当函数
存在三个不同的零点时，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）详见解析；（3）
.
【解析】试题分析：(1)根据导数的几何意义可得：
，再结合斜率公式
进而得出
的值；(2)表示出
，然后构造函数
通过讨论函数的单调性证明
；(3)将函数零点的问题转化为函数图像与
轴交点个数的问题，通过导数讨论函数的单调性来解决.
试题解析：由题知
（Ⅰ）
2分
4分
（Ⅱ）
，令
，
则
7分
∴
时， 
单调递减，
故
时， 
，
∴当
时， 
9分
（Ⅲ）
①
∴
至多只有一个零点，不合题意； 10分
②
∴
至多只有一个零点，不合题意； 11分
③
此时， 
在
上递减， 
上递增， 
上递减，所以， 
至多有三个零点.因为
在
递增，所以
，又因为
，所以
，使得
，又
，所以恰有三个不同零点： 
，所以函数
存在三个不同的零点时， 
的取值范围是
. 14分
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【题目】已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆
上.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过椭圆内一点
的直线
的斜率为
，且与椭圆
交于
两点，设直线
， 
（
为坐标原点）的斜率分别为
，若对任意
，存在实数
，使得
，求实数
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】(本小题满分12分)
已知数列
的前
项和
，且
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令
，是否存在
，使得
、
、
成等比数列．若存在，求出所有符合条件的
值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，
，
分别为椭圆
的左、右焦点．动直线
过点，且与椭圆
相交于
，
两点（直线与
轴不重合）．
（1）若点的坐标为
，求点坐标；
（2）点
，设直线
，
的斜率分别为
，
，求证：
；
（3）求
面积最大时的直线的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
,且
, 
是棱
的中点，点
在侧棱
上运动.
(1)当
是棱
的中点时，求证： 
平面
；
(2)当直线
与平面
所成的角的正切值为
时，求二面角
的余弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设m，n是两条不同直线，
，
，
是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥，n⊥，则m//n；②若//，//，m⊥，则m⊥；③若m//，n//，则m//n；④⊥，⊥，则//．其中正确命题的序号是_______．
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