Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l₁，l₂是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l₁交y轴于E，l₂交圆C于P、Q两点，若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．

Answer 1

考点：圆的一般方程,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：设M（x，y），由点M在线段AD上，得2x+ty-2t=0，由AM≤2BM，得（x-

4

3

）²+（y+

2

3

）²≥

20

9

，依题意，线段AD与圆（x-

4

3

）²+（y+

2

3

）²≥

20

9

至多有一个公共点，故

| 8 3 - 8 3 t|

4+t2

≥

2 5

3

，由此入手能求出△EPQ的面积的最小值．

解答： 解：设M（x，y），由点M在线段AD上，得

x

t

+

y

2

=1，
即2x+ty-2t=0，
由AM≤2BM，得（x-

4

3

）²+（y+

2

3

）²≥

20

9

，
依题意，线段AD与圆（x-

4

3

）²+（y+

2

3

）²≥

20

9

至多有一个公共点，
故

| 8 3 - 8 3 t|

4+t2

≥

2 5

3

，
解得t≤

16-10 3

11

或t≥

16+10 3

11

，
∵t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，∴t=4，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
①当直线l₂：x=1时，直线l₁的方程为y=0，此时S_△EPQ=2；
②当直线l₂的斜率存在时，设l₂的方程为y=k（x-1），k≠0，
则l₁的方程为y=-

1

k

(x-1)，点E（0，

1

k

），∴BE=

1+ 1 k2

，
又圆心到l₂的距离为

|k+1|

1+k2

，
∴PQ=2

5-( |k+1| 1+k2 )2

=2

4k2-2k+4 1+k2

，
∴S_△EPQ=

1

2

BE•PQ
=

1

2

1+ 1 k2

•2

4k2-2k+4 1+k2

=

4k2-2k+4 k2

=

4 k2 - 2 k +4

≥

15

2

，
∵

15

2

＜2，
∴（S_△EPQ）_min=

15

2

．

点评：本题考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．