Question

函数f(x)=x+

2a

x

（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）若a=2，证明函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，解不等式f（t²+2）+f（-2t²+4t-5）＜0．

Answer 1

分析：（I）利用奇函数的定义即可判断出；
（II）利用函数的单调性的定义即可证明；
（III）利用奇函数的性质和单调性即可解出．

解答：（I）解：该函数为奇函数．
证明：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
且f（-x）=-x+

a

-x

=-(x+

a

x

)=-f(x)，
故函数f（x）为奇函数．
（II）当a=2时，f（x）=x+

4

x

．
?2＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

．
∵2＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即x₁x₂-4＞0．
∴

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
（III）∵f（x）为奇函数，∴f（t²+2）＜-f（-2t²+4t-5）=f（2（t-1）²+3），
∵t²+2≥2，2（t-1）²+3＞2，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴t²+2＜2t²-4+5，
化为t²-4t+3＞0，解得t＜1或t＞3．

点评：熟练掌握奇函数的性质和单调性是解题的关键．