已知函数f(x)的定义域为R,则下列命题中:?
①若f(x-2)是偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=2对称;?②若f(x+2)=-f(x-2),则函数f(x)的图象关于原点对称;?③函数y=f(2+x)与函数y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称;?④函数y=f(x-2)与函数y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称.?
其中正确的命题序号是________.?
④
分析:①由函数图象的变化规律知,f(x-2)的图象是由f(x)的图象向右平移两个单位
②由f(x+2)=-f(x-2)变形得f(x+8)=f(x)是周期函数.?
③函数y=f(2+x)是由f(x)向左平移2个单位,函数y=f(2-x)的图象是由f(-x)的图象向右平移2个单位,可得.④特殊图象法,函数f(x-2)是由f(x)的图象向右平移两个单位,函数y=f(2-x)的图象是由f(-x)的图象向右平移两个单位.
解答:①不正确.因为f(x-2)的图象是由f(x)的图象向右平移两个单位而得到,结合f(x-2)是偶函数知,f(x)的图象关于x=-2对称,
?②由f(x+2)=-f(x-2)变形得f(x+8)=f(x)是周期函数.不能得出函数f(x)的图象关于原点对称,故不正确.?
③不正确,因为函数y=f(2+x)是由f(x)向左平移2个单位,函数y=f(2-x)的图象是由f(-x)的图象向右平移2个单位,故两函数的图象仍然关于原点对称.
?④如图所示,正确.
故答案为:④
点评:本题主要考查函数的图象及其图象间的变换,对于常见的类型如:f(x+2)=f(2-x),f(x+2)=-f(2-x),f(x+2)=f(x-2),y=f(x+2)与y=f(2-x)间的关系,要熟练掌握.