Question

18．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=bcosC+$\sqrt{3}$csinB．
（1）求角B；
（2）若b=1，c=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得 sinA=sinBcosC+$\sqrt{3}$sinCsinB，从而cosBsinC=$\sqrt{3}$sinCsinB，进而tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由此能求出B．
（2）由b=1，c=$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{6}$，利用余弦定理得a=1或a=2，由此能求出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=bcosC+$\sqrt{3}$csinB．
∴利用正弦定理得 sinA=sinBcosC+$\sqrt{3}$sinCsinB，
∵sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+$\sqrt{3}$sinCsinB，
∴cosBsinC=$\sqrt{3}$sinCsinB，∴tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{6}$．
（2）∵b=1，c=$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{6}$，
∴cos$\frac{π}{6}$=$\frac{3+{a}^{2}-1}{2\sqrt{3}a}$，解得a=1或a=2，
当a=1时，△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×sin\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
当a=2时，△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×sin\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角形的角及面积的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、正弦加法定理、诱导公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．