Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．

（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；

（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，又EQ平面BDE，PA平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，进一步利用求得最后利用平行线分线段成比例求出λ的值

试题解析：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，

又EQ平面BDE，PA平面BDE．所以PA∥平面BDE

（Ⅱ）解：依据题意可得：PA=AB=PB=2，取AB中点O，

所以PO⊥AB，且 又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；

作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，因为四边形ABCD是矩形，

所以BC⊥平面PAB，则△PBC为直角三角形，

所以，则直角三角形△ABD的面积为，

由FM∥PO得：