Question

一个等差数列{a_n}中,3a₈=5a₁₃,a₁＞0,若S_n为{a_n}的前n项和,则S₁,S₂,…,S_n,…中有没有最大值?请说明理由.

Answer 1

解法一：设{a_n}的首项为a₁,公差为d,则有3(a₁+7d)=5(a₁+12d),

∴d=-a₁.

∴S_n=na₁+d=-a₁n²+a₁n=-a₁(n-20)²+a₁.

    故n=20时,S_n最大,即前20项之和最大.

    解法二：设{a_n}的首项为a₁,公差为d,则3(a₁+7d)=5(a₁+12d),

∴2a₁+39d=0.

    设

    解得≤n≤,

∴n=20,即前20项之和最大.

    解法三：设{a_n}的首项为a₁,公差为d,则3(a₁+7d)=5(a₁+12d),

∴2a₁+39d=0.

∴a₁+a₄₀=0,a₂₀+a₂₁=0.

    又∵a₁＞0,

∴a₂₀＞0,a₂₁＜0.

∴S₁,S₂,…,S_n,…中,S₂₀最大.