Question

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x²﹣3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）e^2x，试判断函数F（x）的极值点个数．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得，由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=a．
∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[﹣1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）=b，
∴b=1．
又，，
∴f（﹣1）＜f（1），即，得．
故，b=1为所求．
（Ⅱ）解：由（1）得f（x）=x³﹣2x²+1，f'（x）=3x²﹣4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．
（1）当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|_x=2=4，
∴l的方程为y﹣1=4（x﹣2），即4x﹣y﹣7=0．
（2）当切点P不是切点时，设切点为Q（x₀，y₀）（x₀≠2），
切线l的斜率，
∴l的方程为y﹣y₀=（3x₀²﹣4x₀）（x﹣x₀）．
又点P（2，1）在l上，
∴1﹣y₀=（3x₀²﹣4x₀）（2﹣x₀），
∴1﹣（x₀³﹣2x₀²+1）=（3x₀²﹣4x₀）（2﹣x₀），
∴x₀²（2﹣x₀）=（3x₀²﹣4x₀）（2﹣x₀），
∴x₀²=3x₀²﹣4x₀，即2x₀（x₀﹣2）=0，
∴x₀=0．
∴切线l的方程为y=1．
故所求切线l的方程为4x﹣y﹣7=0或y=1．
（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）
（Ⅲ）解：F（x）=（3x²﹣3ax+6x+1）e^2x=[3x²﹣3（a﹣2）x+1]e^2x．
∴F'（x）=[6x﹣3（a﹣2）]e^2x+2[3x²﹣3（a﹣2）x+1]e^2x
                =[6x²﹣6（a﹣3）x+8﹣3a]e^2x．
二次函数y=6x²﹣6（a﹣3）x+8﹣3a的判别式为
△=36（a﹣3）²﹣24（8﹣3a）=12（3a²﹣12a+11）=12[3（a﹣2）2﹣1]，
令△≤0，得：．
令△＞0，得．
∵e^2x＞0，1＜a＜2，
∴当时，F'（x）≥0，函数F（x）为单调递增，极值点个数为0；
当时，此时方程F'（x）=0有两个不相等的实数根，
根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点．