Question

（1）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证：

b2-ac

a

＜

3

；
（2）若不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

a

24

对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并用数学归纳法证明此时的不等式．

Answer 1

分析：（1）a＞b＞c，a+b+c=0⇒a＞0，b=-（a+c），（a-b）（a-c）＞0，将b=-（a+c）代入（a-b）（a-c）＞0整理即可证得结论；
（2）先计算n=1时的情形，猜测a的值，再用数学归纳法证明即可．

解答：（1）证明：∵a＞b＞c，
∴（a-b）（a-c）＞0①，又a+b+c=0，故a＞0，
∴b=-（a+c）代入①得
（2a+c）（a-c）＞0，即2a²-ac-c²＞0，
∴a²+ac+c²＜3a²，（1）
又a²+ac+c²=(a+

c

2

)2+

3c2

4

≥0，②
（1）式两边开方得：

a2+ac+c2

＜

3

a，a＞0，
∴

a2+ac+c2

a

＜

3

，即

(a+c)2-ac

a

＜

3

，而b=-（a+c），
∴

b2-ac

a

＜

3

．
（2）证明：当n=1时，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

1+3

=

26

24

＞

a

24

，
∴a＜26，又a∈N^*，
∴取a=25，
下面用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

．，
①当n=1时，已证；
②假设当n=k时，

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

成立，
则当n=k+1时，有

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3(k+1)+1

=（

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

）+（

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

）
＞

25

24

+

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

，
∵

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

=

2

3(k+1)(3k+2)(3k+4)

＞0，
∴

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3(k+1)+1

＞

25

24

成立；
由①②可知，对一切n∈N^*，都有不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

成立．　
∴a的最大值为25．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查数学归纳法的应用，突出运算与推理能力的考查，属于难题．