Question

（1）已知a，b，c均为实数，求证：a²+b²+c²≥

1

3

(a+b+c)2．
（2）若a，b，c均为实数，且a=x²-2y+

1

3

，b=y²-2z+3，c=z²-2x+

1

6

．求证：a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

分析：（1）利用分析法，要证a²+b²+c²≥

1

3

(a+b+c)2，需证…，只需证…，即证（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，该式成立，从而可证原结论成立；
（2）利用反证法，假设a，b，c中没有一个大于0（即均≤0），导出矛盾，从而使要证的结论成立．

解答：解：（1）要证a²+b²+c²≥

1

3

(a+b+c)2，
需证3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²，
即证2（a²+b²+c²）≥2ab+2ac+2bc，
即证（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，该式显然成立，
故原结论成立；
（2）假设

a≤0 b≤0 c≤0

，即

x2-2y+ 1 3 ≤0① y2-2z+3≤0② z2-2x+ 1 6 ≤0③

，
①+②+③得：x²+y²+z²-2x-2y-2z+3+

1

3

+

1

6

=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+

1

2

≤0，
∵（x-1）²≥0，（y-1）²≥0，（z-1）²≥0，
∴（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+

1

2

≥

1

2

，
∴（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+

1

2

≤0是不可能的，即x²+y²+z²-2x-2y-2z+3+

1

3

+

1

6

≤0是不可能的，
∴假设不成立，
∴a，b，c中至少有一个大于0．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查分析法与反证法的应用，考查推理证明能力，属于中档题．