Question

（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求证：a²+b²+c²≥

1

3

；
（2）a，b，c为互不相等的正数，且abc=1，求证：

1

a

+

1

b

+

1

c

＞

a

+

b

+

c

．

Answer 1

分析：（1）利用条件a+b+c=1，两边平方，利用基本不等式，即可证得结论．
（2）根据条件可化为

1

a

+

1

b

+

1

c

=bc+ac+ab=

bc+ac

2

+

ac+ab

2

+

ab+bc

2

或者

a

+

b

+

c

=

1 bc

+

1 ac

+

1 ab

，应用基本不等式即可证得结论．

解答：证明　（1）∵a+b+c=1，∴（a+b+c）²=1，
由a²+b²≥2ab得
a²+b²+c²=

1

3

（a²+b²+b²+c²+c²+a²+a²+b²+c²）
≥

1

3

（a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac）
=

1

3

（a+b+c）²=

1

3

．
（2）法一　由左式推证右式
∵abc=1，且a，b，c为互不相等的正数，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=bc+ac+ab=

bc+ac

2

+

ac+ab

2

+

ab+bc

2

＞

bc•ac

+

ac•ab

+

ab•bc

（基本不等式）
=

c

+

a

+

b

．
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

＞

a

+

b

+

c

．
法二　由右式推证左式
∵a，b，c为互不相等的正数，且abc=1，
∴

a

+

b

+

c

=

1 bc

+

1 ac

+

1 ab

＜

1 b + 1 c

2

+

1 a + 1 c

2

+

1 a + 1 b

2

（基本不等式）=

1

a

+

1

b

+

1

c

．

点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．