Question

（2005•重庆一模）设f(x)=

x

a(x+2)

，x=f（x）有唯一解，f(x1)=

1

1003

，f（x_n）=x_n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求x₂₀₀₄的值；
（Ⅱ）若an=

4

xn

-4009，且bn=

a 2 n+1 + a 2 n

2an+1an

(n∈N*)，求证：b₁+b₂+…+b_n-n＜1；
（Ⅲ）是否存在最小整数m，使得对于任意n∈N*有xn＜

m

2005

成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由x=

x

a(x+2)

，可以化为ax（x+2）=x，令△=（2a-1）²=0求出a的值，代入f（x）得到

1

xn+1

=

1

2

+

1

xn

，利用对称数列的通项公式求出

1

xn

，进一步求出x₂₀₀₄的值；
（II）由已知求出b_n根据其特点将其写成1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，利用裂项求和的方法求出b₁+b₂+…+b_n-n得证．
（III）将xn=

2

n+2004

代入xn＜

m

2005

得到

2

n+2004

＜

m

2005

(n∈N*)恒成立，求出(

2

n+2004

)max=

2

2005

，
进一步求出m的值．

解答：解（Ⅰ）由x=

x

a(x+2)

，可以化为ax（x+2）=x，
∴ax²+（2a-1）x=0，
由△=（2a-1）²=0得
当且仅当a=

1

2

时，x=f（x）有惟一解x=0，
从而f(x)=

2x

x+2

…（1分）
又由已知f（x_n）=x_n+1得：

2xn

xn+2

=xn+1，
∵

1

xn+1

=

1

2

+

1

xn

，
即

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

(n∈N*)
∴数列{

1

xn

}是首项为

1

x1

，公差为

1

2

的等差数列…（3分）
∴

1

xn

=

1

x1

+

n-1

2

=

2+(n-1)x1

2x1

，
∴xn=

2x1

(n-1)x1+2

又∵f(x1)=

1

1003

，
∴

2x1

x1+2

=

1

1003

，即x1=

2

2005

…（4分）
∵xn=

2× 2 2005

(n-1)• 2 2005 +2

=

2

n+2004

…（5分）
故x2004=

2

2004+2004

=

1

2004

…（6分）
（Ⅱ）证明：∵xn=

2

n+2004

，
∴an=

n+2004

2

×4-4009=2n-1…（7分）
∴bn=

a 2 n + a 2 n-1

2anan+1

=

(2n-1)2+(2n+1)2

2(2n-1)(2n+1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

…（8分）
∴b1+b2+…+bn-n=(1+1-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

5

)+…+(1+

1

2n-1

-

1

2n+1

)-n
=1-

1

2n+1

＜1…（10分）
（Ⅲ）由于xn=

2

n+2004

，若

2

n+2004

＜

m

2005

(n∈N*)恒成立，
∵(

2

n+2004

)max=

2

2005

，
∴

m

2005

＞

2

2005

，
∴m＞2，而m为最小正整数，
∴m=3…（12分）

点评：求数列的前n项和的方法，应该先求出数列的通项，根据数列通项的特点选择合适的求和方法，属于难题．