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    定义向量⊕运算：
    a
    ⊕
    b
    =
    c
    ，若
    a
    =（a1，a2），
    b
    =（b1，b2），则向量
    c
    =（a1b1，a2b2）．已知
    m
    =（
    1
    2
    ，2    ），
    n
    =（
    π
    6
    ，0    ），且点P（x，y）在函数y=cos2x的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且点P和点Q满足：
    OQ
    =
    m
    ⊕
    OP
    +
    n
    （其中O为坐标原点），则函数y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为（　　）
    分析：可先把动点Q的坐标设出，然后根据给出的新定义把向量
    m
    、
    n
    、
    OP
    的坐标代入，整理后得到关于Q点的横纵坐标的参数方程，消参后即可得到函数y=f（x）的解析式，则函数的最大值和周期可求．
    解答：解：设Q（x1，y1），则
    OQ
    =(x1，y1)    ，
    m
    =(
    1
    2
    ，2)    ，
    OP
    =(x，y)    ，
    n
    =(
    π
    6
    ，0)    ，
    因为点P（x，y）在函数y=cos2x的图象上运动，所以P（x，cos2x），
    所以由
    OQ
    =
    m
    ⊕
    OP
    +
    n
    得：(x1，y1)=(
    1
    2
    x，2cos2x)+(
    π
    6
    ，0)    =(
    1
    2
    x+
    π
    6
    ，2cos2x)    ，
    所以
    x1=
    1
    2
    x+
    π
    6
    y1=2cos2x
    ，解得：y1=2cos(4x1-
    π
    3
    )    ，
    即f（x）=2cos（4x-
    π
    3
    ）．
    所以函数f（x）的最大值A=2，周期T=
    2π
    4
    =
    π
    2
    ．
    故选B．
    点评：本题以向量为载体，考查了函数的周期和值域，考查了两向量相等的条件，训练了消参方法，解答此题的关键是能够正确解出函数f（x）的解析式，属新定义问题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设
    a
    =( a1 ， a2)    ，
    b
    =( b1 ， b2)    ，定义一种向量运算：
    a
    ?
    b
    =( a1b1 ， a2b2)    ，已知
    m
    =(
    1
    2
     ， 2a)    ，
    n
    =(
    π
    4
     ， 0)    ，点P（x，y）在函数g（x）=sinx的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且满足
    OQ
    =
    m
    ?
    OP
    +
    n
    （其中O为坐标原点）．
    （1）求函数f（x）的解析式；
    （2）若函数h(x)=2asin2x+
    		3
    2
    f(x-
    π
    4
    )+b    ，且h（x）的定义域为[
    π
    2
     ， π]    ，值域为[2，5]，求a，b的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （文）对于任意的平面向量
    a
    =(x1，y1)，
    b
    =(x2，y2)    ，定义新运算⊕：
    a
    ⊕
    b
    =(x1+x2，y1y2)    ．若
    a
    ，
    b
    ，
    c
    为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是
    ①③
    ①③
    ．
    ①
    a
    ⊕
    b
    =
    b
    ⊕
    a
    ；            
    ②(k
    a
    )⊕
    b
    =
    a
    ⊕(k
    b
    )    ；
    ③
    a
    ⊕(
    b
    ⊕
    c
    )=(
    a
    ⊕
    b
    )⊕
    c
    ；   
    ④
    a
    ⊕(
    b
    +
    c
    )=
    a
    ⊕
    b
    +
    a
    ⊕
    c
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•闸北区二模）对于任意的平面向量
    a
    =(x1，y1)，
    b
    =(x2，y2)    ，定义新运算⊕：
    a
    ⊕
    b
    =(x1+x2，y1y2)    ．若
    a
    ，
    b
    ，
    c
    为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是
    ①④
    ①④
    ．
    ①
    a
    ⊕
    b
    =
    b
    ⊕
    a
    ；    ②(k
    a
    )⊕
    b
    =
    a
    ⊕(k
    b
    )    ；    ③k(
    a
    ⊕
    b
    )=(k
    a
    )⊕(k
    b
    )
    ④
    a
    ⊕(
    b
    ⊕
    c
    )=(
    a
    ⊕
    b
    )⊕
    c
    ；     ⑤
    a
    ⊕(
    b
    +
    c
    )=
    a
    ⊕
    b
    +
    a
    ⊕
    c
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•潮州二模）设向量
    a
    =(a1，a2)，
    b
    =(b1，b2)    ，定义一运算：
    a
    ?
    b
    =(a1，a2)    ?（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知
    m
    =(
    1
    2
    ，2)，
    .
    n
    =(x1，sinx1)    ，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足
    .
    OQ
    ≡
    m
    ?
    n
    （其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值及最小正周期分别是（　　）

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