Question

5．已知公差不为零的等差数列的第1，4，13项恰好是某等比数列的第1，3，5项，那么该等比数列的公比为±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 因为等差数列的第1、4、13项分别是某等比数列的第1、3、5项，得到a₄²=a₁•a₁₃，然后根据等差数列的通项公式分别求出这三项，解得a₁=$\frac{3}{2}$d，求出第3项与第一项的比值得到公比q．

解答 解：由于等差数列{a_n}的公差d≠0，
它的第1，4，13项顺次成等比数列，
即a₄²=a₁•a₁₃，
也就是（a₁+3d）²=a₁•（a₁+12d）
即有a₁²+6a₁d+9d²=a₁²+12a₁d，
则有a₁=$\frac{3}{2}$d，
于是a₄=a₁+3d=$\frac{9}{2}$d，
所以 q²=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=3．
∴q=±$\sqrt{3}$．
故答案为：±$\sqrt{3}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，以及等比数列的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．