Question

已知抛物线x²=4y及定点P（0，8），A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），对抛物线方程为，求导得
（法一）可得过抛物线上A、B两点的切线方程分别为，联立方程可得，由，得，结合抛物线的方程整理可求
（法二）由直线AB与x轴不垂直可设AB：y=kx+8．.x²-4kx-32=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32，利用导数知识可得过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是，，从而可写出切线MA．MB的方程，联立方程可求M
（II）考虑到AB∥x轴时，显然要使∠AQP=∠BQP，则点Q必定在y轴上，且有K_AQ+K_BQ=0对一切k恒成立，代入整理可求
解答：解：（I）方法1：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
对抛物线方程为，求导得
所以，过抛物线上A、B两点的切线方程分别为：，，即，解得．
又，得（-x₁，8-y₁）=λ（x₂，y₂-8），即将式（1）两边平方并代入得y₁=λ²y₂，再代入（2）得λy₂=8，解得且有x₁x₂=-λx₂²=-4λy₂=-32，所以，点M的纵坐标为-8．
方法2：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+8．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
.x²-4kx-32=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32
抛物线方程为．
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是，，∴
解得：
即点M的纵坐标为定值-8
（II）考虑到AB∥x轴时，显然要使∠AQP=∠BQP，则点Q必定在y轴上，
设点Q（0，t），此时，
结合（1）x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32
故对一切k恒成立
即：k（8+t）=0
故当t=-8，即Q（0，-8）时，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP
点评：本题考查抛物线的应用，及直线与抛物线的位置关系的应用，关键是看清题中给出的条件，灵活运用方程的思想进行求解．