Question

关于x的方程：x³-x=-

t

4

在[-1，t]上有且只有一个实根，求t的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：确定f（x）的单调性，由f（x）=0解得x=±1，x=0；作y=f（x）与与y=-

x

4

的图象交点横坐标为±

3

2

，x=0，图象上任意一点向左作平行于x轴的直线与y=f（x）都只有唯一交点，当x取其它任何值时都有两个或没有交点，由此可得结论

解答： 解：∵令f（x）=x³-x，
∴f′（x）=3x²-1，
当x∈（-

3

3

，

3

3

），f′（x）＜0，
当x∈（-1，-

3

3

），（

3

3

，+∞），
f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（-

3

3

，

3

3

）单调递减，
在（-1，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上单调递增，
 当x=

3

3

时，f（

3

3

）=

9 3

8

，
由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如图所示，作y=f（x）与y=-

x

4

的图象，
交点横坐标为±

3

2

，x=0，
当x∈[-

3

2

，0）∪（0，

3

2

）∪{

9 3

8

}时，过y=-

x

4

的图象上任意一点向左作平行于x轴的直线与y=f（x）都只有唯一交点，当x取其它任何值时都有两个或没有交点．
所以当t∈[-

3

2

，0）∪（0，

3

2

）∪{

9 3

8

}时，方程x³-x=-

t

4

在[-1，t]上有且只有一个实根．

点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查导数知识，属于中档题．