Question

【题目】已知动圆过定点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点且斜率不为零的直线交曲线于， 两点，在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当定点为时，常数为；当定点为时，常数为．

【解析】试题分析：（Ⅰ）设动圆的半径为，则可得，从而可得结果；（Ⅱ）依题意可设直线的方程为， ， ，联立直线方程与椭圆方程，假设存在定点，根据韦达定理， ，由可得结论.

试题解析：（Ⅰ）设动圆的半径为，

由： 及知点在圆内，则有

从而，

所以的轨迹是以， 为焦点，长轴长为4的椭圆，

设曲线的方程为，则， ，

所以， ，

故曲线的轨迹方程为．

（Ⅱ）依题意可设直线的方程为， ， ，

由得，

所以则，

，

假设存在定点，使得直线， 的斜率之积为非零常数，则

，

所以 ，

要使为非零常数，当且仅当解得，

当时，常数为，

当时，常数为，

所以存在两个定点和，使直线， 的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为．

【方法点晴】本题主要考查待定义法求椭圆的标准方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.