Question

【题目】将2006表示成5个正整数之和. 记. 问：

（1）当取何值时，S取到最大值；

（2）进一步地，对任意有，当取何值时，S取到最小值. 说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1)根据条件，判断S的值是有界集，故必存在最大值与最小值，且S取到最大值，则必有，从而可求结论；

(2)当，且时，只有三种情况，后两种情形是由第一组作调整下得到的，结合（1）中的分析，可得结论.

（1） 首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若, 且使 取到最大值，则必有

(*)

事实上，假设（*）不成立，不妨假设。则令，,(),有，。

将S改写成

同时有 。

于是有.这与S在时取到最大值矛盾.所以必有 . 因此当取到最大值.

（2）当且时，只有

402， 402， 402， 400， 400；

402， 402， 401， 401， 400；

402， 401， 401， 401， 401； 三种情形满足要求。而后面两种情形是在第一组情形下作，调整下得到的。根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式 变大. 所以在情形取到最小值.