Question

【题目】如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，

过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，且AB=1，SA=2．

（1）证明E、H在以AK为直径的圆上，且当点P是SA上任一点时，试求的最小值；

（2）求平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）将侧面绕侧棱旋转到与侧面在同一平面内，当三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段的长，由此能求出结果；

（2）以A为原点,分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEKH与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.

（1）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面SAB，又平面SAB，∴EA⊥BC，又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC ，

又平面SBC，∴EA⊥EK， 同理 AH⊥KH，

∴E、H在以AK为直径的圆上

现将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如右图示，

则当B、P、H三点共线时，取最小值，这时，的

最小值即线段BH的长，设,则，

在中，∵,∴,

在三角形BAH中，有余弦定理得：

∴.

（2）以A为原点,分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则S（0，0，2），C（1，1，0），由（1）可得AE⊥SC，AH⊥SC，

∴SC⊥平面AEKH，为平面AEKH的一个法向量，

为平面ABCDF的一个法向量，设平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为，则

∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值