【题目】已知函数 f(x)=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1(ω>0)的周期为π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在上的值域.
【答案】【解答】(Ⅰ)∵函数 f(x)=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1=sin2ωx﹣cos2ωx= sin(2ωx﹣
)(ω>0),
故该函数的周期为 =π,∴ω=1,f(x)=
sin(2x﹣
).
(Ⅱ)在[ ,
]上,2x﹣
∈[
,
],
∵sin =sin(
﹣
)=sin
cos
﹣cos
sin
=
,
sin(2x﹣ )∈[
,
],∴f(x)∈[
,1].
【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性求出ω的值。
(Ⅱ)利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)在上的值域.
【考点精析】关于本题考查的三角函数的最值,需要了解函数,当
时,取得最小值为
;当
时,取得最大值为
,则
,
,
才能得出正确答案.
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【题目】已知椭圆 经过点
,其离心率
.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设动直线 与椭圆
相切,切点为
,且
与直线
相交于点
.
试问:在 轴上是否存在一定点,使得以
为直径的圆恒过该定点?若存在,
求出该点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣alnx+x(a∈R)
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的单调性.
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【题目】已知函数f(x)=lnx,g(x)= +bx(a≠0)
(Ⅰ)若a=﹣2时,函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设φ(x)=e2x+bex , x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值;
(Ⅲ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】设f(x)=|ax﹣1|.
(Ⅰ)若f(x)≤2的解集为[﹣6,2],求实数a的值;
(Ⅱ)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)﹣f(x﹣1)≤7﹣3m成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于一点 O,∠A=60°,将△BDC 沿着 BD 折起得△BDC',连结 AC'.
(Ⅰ)求证:平面 AOC'⊥平面 ABD;
(Ⅱ)若点 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心,求直线 CD 与底面 ADC'所成角的正弦值.
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【题目】已知数列{an},{bn}满足a1=2,b1=4,且 2bn=an+an+1 , an+12=bnbn+1 .
(Ⅰ)求 a 2 , a3 , a4 及b2 , b3 , b4;
(Ⅱ)猜想{an},{bn} 的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅲ)证明:对所有的 n∈N* ,
…
<
<
sin
.
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【题目】已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[﹣1,2]上的最大值为8,最小值为m.若函数g(x)=(3﹣10m) 是单调增函数,则a= .
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【题目】如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,PA= ,E是棱PC的中点,过AE作平面分别与棱PB、PD交于M、N两点.
(1)若PM= PB,PN=λPD,求λ的值;
(2)求直线PA与平面AMEN所成角的正弦值的取值范围.
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