Question

【题目】已知椭圆 经过点 ，其离心率 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设动直线 与椭圆 相切，切点为 ，且 与直线 相交于点 ．
试问：在 轴上是否存在一定点，使得以 为直径的圆恒过该定点？若存在，
求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)依题意，得 ．又 ，

在 中， ，所以 ．

所以椭圆 的标准方程为 ．

(Ⅱ)设 ， ，则 ， ．

因为点 在椭圆 上，所以 ．即 ．

又 ，所以直线 的方程为 ．

令 ，得 ．

又 ， 为线段 的中点，所以 ．

所以 ， ．

因为

，

所以 ． ．

【解析】(1)根据题意可以知：将点代入椭圆的方程利用椭圆的离心率公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程。(2)将直线方程代入椭圆的方程由判别式等于零求得关于m的方程，利用韦达定理以及中点坐标公式求T的坐标联立即可求出S点的坐标，结合向量的数量积坐标运算可求得点A的坐标即可求得以ST为直径的圆恒过该定点（1,0）。