Question

对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b）使当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
（1）已知函数f（x）=x³是正函数，试求f（x）的所有等域区间；
（2）若是正函数，试求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数a，b（a＜b＜1）使得函数是[a，b]上的“正函数”？若存在，求出区间[a，b]，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x²≥0
∴f（x）=x³在R上是增函数
则x∈[a，b]时，f（x）的值域为[a³，b³]
又f（x）=x³是正函数
∴
故f（x）的等域区间有三个：[0，1]，[-1，0]，[-1，1]…
（2）∵在[-2，+∞）上是增函数
∴x∈[a，b]时，f（x）的值域为[g（a），g（b）]
若是正函数，则有即
故方程有两个不等的实根．…
即有两个不等的实根
令
数形结合知：…
（3）假设存在区间[a，b]，使得x∈[a，b]时，的值域为[a，b]，又0∉[a，b]故ab＞0
当a＜b＜0时，在[a，b]上单增．
∴是方程的两负根
又方程x²-x+1=0无解
故此时不存在…
当0＜a＜b＜1时，在[a，b]上单减
∴
故此时不存在…
综上可知：不存在实数a＜b＜1使得f（x）的定义域和值域均为[a，b]…
分析：（1）根据导数符号可知f（x）=x³在R上是增函数，则x∈[a，b]时，f（x）的值域为[a³，b³]，最后根据f（x）=x³是正函数建立等式关系，解之即可求出所求；
（2）在[-2，+∞）上是增函数，则x∈[a，b]时，f（x）的值域为[g（a），g（b）]，根据是正函数，建立等式关系，即有两个不等的实根，数形结合即可求出k的范围；
（3）假设存在区间[a，b]，使得x∈[a，b]时，的值域为[a，b]，讨论当a＜b＜0时与当0＜a＜b＜1时是否存在实数a、b即可．
点评：本题主要考查了函数值域的求解，以及利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．