Question

15．已知x，y∈R⁺，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，求$\frac{4}{x-1}$+$\frac{9}{y-1}$的最值．

Answer 1

分析 由题意消去y可得原式=$\frac{4}{x-1}$+9（x-1），又可得x-1＞0，由基本不等式求最值可得．

解答 解：∵x，y∈R⁺，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，∴y=$\frac{x}{x-1}$，
由y=$\frac{x}{x-1}$＞0可得x-1＞0，
∴$\frac{4}{x-1}$+$\frac{9}{y-1}$=$\frac{4}{x-1}$+$\frac{9}{\frac{x}{1-x}-1}$=$\frac{4}{x-1}$+9（x-1）
≥2$\sqrt{\frac{4}{x-1}•9（x-1）}$=12，
当且仅当$\frac{4}{x-1}$=9（x-1）即x=$\frac{5}{3}$时取等号，
∴$\frac{4}{x-1}$+$\frac{9}{y-1}$的最小值为12．

点评 本题考查基本不等式求最值，消元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．