Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}sin$（$\frac{π}{4}+mx$），-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+mx），cos2mx）x∈R，m∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）当m=1时，x$∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）当m=$\frac{nπ}{2}$时，若f（x）在区间[0，2015]恰有2015个零点，求整数n的所有取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出函数解析式并化简，利用正弦函数的性质求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）讨论n的符号，利用函数在区间[0，2015]恰有2015个零点，确定n值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{2}sin$（$\frac{π}{4}+mx$）（$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+mx）-$\sqrt{3}$cos2mx
=2sin²（mx+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2mx
=1-cos（$\frac{π}{2}$+2mn）-$\sqrt{3}$cos2mx
=sin2mx-$\sqrt{3}$cos2mx+1
=2sin（2mx-$\frac{π}{3}$）+1-----（4分）
当m=1时，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1；当x$∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴f（x）∈[2，3]．
故当x$∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，f（x）的最大值为3，最小值为2．-----（6分）
（Ⅱ） 当m=$\frac{nπ}{2}$时，f（x）=2sin（nπx-$\frac{π}{3}$）+1
由f（x）=0，则sin（nπx-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$
①当n＞0时，T=$\frac{2}{n}$，nπx-$\frac{π}{3}$=2kπ$+\frac{7π}{6}$或nπx-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
所以x=$\frac{3}{2n}+\frac{2k}{n}$或x=$\frac{1}{6n}+\frac{2k}{n}$，k∈Z
依题意得$\frac{1}{6n}+1007×\frac{2}{n}≤2015＜\frac{3}{2n}+1007×\frac{2}{n}$
即$\frac{1}{6n}+\frac{2015-1}{2}×\frac{2}{n}≤2015＜\frac{3}{2n}+\frac{2015-1}{2}×\frac{2}{n}$
所以$\left\{\begin{array}{l}{n≥\frac{1+2014×6}{2014×6+6}∈（0，1）}\\{n＜\frac{3+2014×2}{2014×2+2}∈（1，2）}\end{array}\right.$又n∈Z，
所以n=1．-----（10分）
②当n＜0时，T=$-\frac{2}{n}$，sin（-nπx+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$
所以-πx+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}+2kπ$或-nπx+$\frac{π}{3}$=$\frac{13π}{6}+2kπ$，k∈Z
所以x=$\frac{1}{-2n}+\frac{2k}{-n}$或x=$\frac{11}{-6n}+\frac{2k}{-n}$，k∈Z
依题意得$\frac{1}{-2n}+1007×\frac{2}{-n}≤2015＜\frac{11}{-6n}+1007×\frac{2}{-n}$
即$\frac{1}{-2n}+\frac{2015-1}{2}×\frac{2}{-n}≤2015＜\frac{11}{-6n}+\frac{2015-1}{2}×\frac{2}{-n}$
所以$\left\{\begin{array}{l}{n＞-\frac{11+2014×6}{2014×6+6}∈（-2，-1）}\\{n≤-\frac{1+2014×2}{2014×2+2}∈（-1，0）}\end{array}\right.$又n∈Z，所以n=-1．-----（13分）
③当n=0时，显然不合题意．
综上得：n=±1．-----1（4分）

点评 本题考查了平面向量的数量积以及三角函数式的化简、正弦函数的性质以及讨论思想的运用，属于难题．