Question

9．若函数f（x）=x-$\frac{2}{x}$-3lnx+k在其定义域上有三个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1-3ln2）
• B． （1，3ln2-1）
• C． （1-3ln2，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 先求出函数的导数，得到函数的单调区间，结合函数的单调性得到不等式组，解出即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴函数f（x）在（0，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减，
而f（1）=-1+k，f（2）=1-3ln2+k，
要使f（x）在（0，+∞）有3个零点，
只需$\left\{\begin{array}{l}{-1+k＞0}\\{1-3ln2+k＜0}\end{array}\right.$，解得：1＜k＜3ln2-1，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，函数的零点问题，是一道中档题．