Question

（2012•河西区一模）已知平面内点A(cos

x

2

，sin

x

2

)，点B（1，1），

OA

+

OB

=

OC

，f(x)=|

OC

|2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-π，π]，求f（x）的最大和最小值，并求当f（x）取最值时x的值．

Answer 1

分析：（1）先求出

OA

，

OB

，代入

OC

=

OA

+

OB

，根据向量的数量积的性质即可求出f（x）=|

OC

|2，利用同角平方关系进行化简后，根据正周期公式即可求解
（2）由已知-π≤x≤π可求

x

2

+

π

4

的范围，结合正弦函数的性质即可求解函数的最值及相应的x

解答：解：（1）由题意知，

OA

=（cos

x

2

，sin

x

2

），

OB

=（1，1）
则

OC

=

OA

+

OB

=（1+cos

x

2

，1+sin

x

2

）
∴f（x）=|

OC

|2=(1+cos

x

2

)2+(1+sin

x

2

)2
=3+2sin

x

2

+2cos

x

2

=3+2

2

sin(

x

2

+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π
（2）∵-π≤x≤π
∴-

π

4

≤

x

2

+

π

4

≤

3π

4

∴-

2

2

≤sin(

x

2

+

π

4

)≤1
∴当x=-π时，函数f（x）有最小值1
当x=

π

2

时，函数有最大值3+2

2

点评：本题 主要考查了向量的数量积的坐标表示的应用及三角函数的化简，正弦函数的性质等知识的综合应用