Question

9．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱长均为2，D是CC₁的中点．
（1）求多面体ABD-A₁B₁C₁的体积．
（2）求直线CC₁与平面ABD所成角的大小．
（3）（理科）求二面角A-BD-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）多面体ABD-A₁B₁C₁的体积V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{D-ABC}$，由此能求出结果．
（2）以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CC₁与平面ABD所成角．
（3）求出平面ABD的法向量和平面BDB₁的法向量，利用向量法能求出二面角A-BD-B₁的余弦值．

解答 解：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱长均为2，D是CC₁的中点，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，CD=1，
∴多面体ABD-A₁B₁C₁的体积：
V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{D-ABC}$
=S_△ABC•AA₁-$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×CD$
=$\sqrt{3}×2-\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
（2）以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则C（0，2，0），C₁（0，2，2），A（0，0，0），B（$\sqrt{3}，1，0$），D（0，2，1），
$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，1），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-3，6$），
设直线CC₁与平面ABD所成角为θ，
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{C{C}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{C{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{2\sqrt{48}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=60°，
∴直线CC₁与平面ABD所成角为60°．
（3）$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），
设平面BDB₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{3}a+b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=2c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，3，0$），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-6}{\sqrt{48}•\sqrt{12}}$=-$\frac{1}{4}$，
由图知二面角A-BD-B₁的平面角为钝角，
∴二面角A-BD-B₁的余弦值为-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查多面体的体积的求法，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．