Question

已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②二次函数图象过点（0，-3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x²）的单调递增区间与极大值．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b．由题设可得：

f′(1)=0 f′(0)=-2 f(0)=-3

，由此能求出f（x）．
（2）由g（x）=f（x²）=x⁴-2x²-3，知g′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1）．列表能求出函数g（x）的单调递增区间与极大值．

解答：（本小题13分）
解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b．
由题设可得：

f′(1)=0 f′(0)=-2 f(0)=-3

，
即

2a+b=0 b=-2 c=-3.

，
解得

a=1 b=-2 c=-3.

所以f（x）=x²-2x-3．
（2）g（x）=f（x²）=x⁴-2x²-3，
g′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1）．
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+	0	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（-1，0）和（1，+∞）．
函数g（x）的极大值是g（0）=-3．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调增区间和极大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．