Question

16．某村投资128万元建起了一处生态采摘园，预计在经营过程中，第一年支出10万元，以后每年支出都比上一年增加4万元，从第一年起每年的销售收入都为76万元．设y表示前n（n∈N^*）年的纯利润总和（利润总和=经营总收入-经营总支出-投资）．
（1）该生态园从第几年开始盈利？
（2）该生态园前几年的年平均利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）每年的支出构成一个等差数列，每年的收入是一个常数列，故根据f利润总和=经营总收入-经营总支出-投资，可建立函数关系；
（2）求出年平均纯利润，再利用基本不等式，即可求得年平均纯利润的最大值．

解答 解：（1）依题意，每年支出组成首项为10，公差为4的等差数列，可得前n年的总支出10n+$\frac{n（n-1）}{2}$×4
可得前n（n∈N^*）年的纯利润总和y=76n-[10n+$\frac{n（n-1）}{2}$×4]-128=-2n²+68n-128
由y＞0，即-2n²+68n-128＞0
解得2＜n＜32
由于n∈N₊，故从第三年开始赢利．
（2）年平均纯利润$\frac{y}{n}$=-2n+68-$\frac{128}{n}$=68-2（n+$\frac{64}{n}$）≤36
当且仅当n=8时等号成立，此时年平均纯利润最大值为36万元，
即生态园前8年的年平均利润最大，最大利润是36万元．

点评 本题重点考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键是寻找等量关系，建立函数关系式．