Question

已知f(x)=log2

1-x

1+x

（-1＜x＜1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若a，b∈（-1，1），证明：f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域（-1，1）关于原点对称，再检验f（-x）与f（x）的关系进而可判断函数奇偶 性
（2）由于f(a)+f(b)=log2

1-a

1+a

+log2

1-b

1+b

=log2

(1-a)(1-b)

(1+a)(1+b)

，f(

a+b

1+ab

)=log2

1+ a+b 1+ab

1- a+b 1+ab

，可证

解答：解：（1）函数的定义域（-1，1）关于原点对称
f(-x)=log2

1+x

1-x

=-log2

1-x

1+x

=-f(x)
所以函数为奇函数
（2）f(a)+f(b)=log2

1-a

1+a

+log2

1-b

1+b

=log2

(1-a)(1-b)

(1+a)(1+b)

=log2

1-a-b+ab

1+a+b+ab

f(

a+b

1+ab

)=log2

1+ a+b 1+ab

1- a+b 1+ab

=log2

1+ab+a+b

1+ab-a-b

∴f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，要注意函数定义域的检验，对数的运算性质的应用，属于公式的基本运用